1. 12.7 回归决策树

1.1. 学习目标

• 知道回归决策树的实现原理

前面已经讲到，关于数据类型，我们主要可以把其分为两类，连续型数据和离散型数据。在面对不同数据时，决策树也可以分为两大类型：

• 分类决策树和回归决策树。
• 前者主要用于处理离散型数据，后者主要用于处理连续型数据。

1.2. 1.原理概述

不管是回归决策树还是分类决策树，都会存在两个核心问题：

• 如何选择划分点？
• 如何决定叶节点的输出值？

一个回归树对应着输入空间（即特征空间）的一个划分以及在划分单元上的输出值。分类树中，我们采用信息论中的方法，通过计算选择最佳划分点。

而在回归树中，采用的是启发式的方法。假如我们有n个特征，每个特征有个取值，那我们遍历所有特征，尝试该特征所有取值，对空间进行划分，直到取到特征 j 的取值 s，使得损失函数最小，这样就得到了一个划分点。描述该过程的公式如下：

假设将输入空间划分为M个单元： $R_1,R_2,...,R_m$ 那么每个区域的输出值就是： $c_m=avg(y_i|x_i\in R_m)$ 也就是该区域内所有点y值的平均数。

举例：

如下图，假如我们想要对楼内居民的年龄进行回归，将楼划分为3个区域R1,R2,R3（红线），

那么R1的输出就是第一列四个居民年龄的平均值，

R2的输出就是第二列四个居民年龄的平均值，

R3的输出就是第三、四列八个居民年龄的平均值。

1.3. 2.算法描述

• 输入：训练数据集D:
• 输出：回归树f(x).
• 在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：
  • （1）选择最优切分特征j与切分点s，求解遍历特征j,对固定的切分特征j扫描切分点s,选择使得上式达到最小值的对 (j,s).
  • （2）用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值：（3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2)，直至满足停止条件。
  • （4）将输入空间划分为M个区域R1,R2,……,Rm, 生成决策树：

1.4. 3.简单实例

为了易于理解，接下来通过一个简单实例加深对回归决策树的理解。

训练数据见下表，目标是得到一棵最小二乘回归树。

1.4.1. 3.1 实例计算过程

（1）选择最优的切分特征j与最优切分点s：

• 确定第一个问题：选择最优切分特征：

  • 在本数据集中，只有一个特征，因此最优切分特征自然是x。

• 确定第二个问题：我们考虑9个切分点 [1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5] 。

  • 损失函数定义为平方损失函数： $Loss(y,f(x))=(f(x)-y)^2$

  • 将上述9个切分点依此代入下面的公式，其中 $c_m=avg(yi|xi\in R_m)$

a、计算子区域输出值：

例如，取 s=1.5。此时�1=1,�2=2,3,4,5,6,7,8,9,10R1=1,R2=2,3,4,5,6,7,8,9,10，这两个区域的输出值分别为：

• $c1=5.56$

• $c2=(5.7+5.91+6.4+6.8+7.05+8.9+8.7+9+9.05)/9=7.50$

同理，得到其他各切分点的子区域输出值，如下表：

b、计算损失函数值，找到最优切分点：

把c1,c2的值代入到同平方损失函数： $Loss(y,f(x))=(f(x)-y)^2$ 当s=1.5时，

同理，计算得到其他各切分点的损失函数值，可获得下表：

显然取 s=6.5时，m(s)最小。因此，第一个划分变量【j=x,s=6.5】

（2）用选定的(j,s)划分区域，并决定输出值;

• 两个区域分别是： $R1=\{1,2,3,4,5,6\},R2=\{7,8,9,10\}$

• 输出值 $c_m=avg(yi|xi\in Rm),c1=6.24,c2=8.91$

（3）调用步骤 (1)、(2)，继续划分：

对R1继续进行划分:

取切分点[1.5,2.5,3.5,4.5,5.5]，则各区域的输出值c如下表：

计算损失函数值m(s)：

s=3.5时，m(s)最小。

（4）生成回归树

假设在生成3个区域之后停止划分，那么最终生成的回归树形式如下：

1.4.2. 3.2 回归决策树和线性回归对比

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn import linear_model

# 生成数据
x = np.array(list(range(1, 11))).reshape(-1, 1)
y = np.array([5.56, 5.70, 5.91, 6.40, 6.80, 7.05, 8.90, 8.70, 9.00, 9.05])

# 训练模型
model1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=1)
model2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=3)
model3 = linear_model.LinearRegression()
model1.fit(x, y)
model2.fit(x, y)
model3.fit(x, y)

# 模型预测
X_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01).reshape(-1, 1)  # 生成1000个数,用于预测模型
X_test.shape
y_1 = model1.predict(X_test)
y_2 = model2.predict(X_test)
y_3 = model3.predict(X_test)

# 结果可视化
plt.figure(figsize=(10, 6), dpi=100)
plt.scatter(x, y, label="data")
plt.plot(X_test, y_1,label="max_depth=1")
plt.plot(X_test, y_2, label="max_depth=3")
plt.plot(X_test, y_3, label='liner regression')

plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("Decision Tree Regression")
plt.legend()

plt.show()

结果展示

1.5. 4 小结

• 回归决策树算法总结【指导】

  • 输入：训练数据集D:

  • 输出：回归树f(x).

  • 流程：在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树

    ：

    • （1）选择最优切分特征j与切分点s，求解遍历特征j,对固定的切分特征j扫描切分点s,选择使得上式达到最小值的对(j,s).
    • （2）用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值：
    • （3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。
    • （4）将输入空间划分为M个区域R1,R2,……,Rm, 生成决策树：